O Fluxo de Energia nos Circuitos Elétricos

Frederico B. TeixeiraCircuitos Elétricos, EletromagnetismoLeave a Comment

Nighthawks

No primeiro artigo sobre a importância das cargas superficiais para o funcionamento dos circuitos elétricos, dissemos que o transporte de energia não é feito pelos elétrons móveis, mas sim pelo campo eletromagnético no entorno do circuito. Contudo, não explicamos como esse fenômeno ocorre. É o que vamos fazer nesta publicação.

Campos e Energia

Na Física, a energia é um tema que gera discussões intermináveis. Para nossa análise, basta a sua descrição clássica (que não a define, só diz como ela se comporta): a energia é um atributo abstrato de um sistema que, quando calculada de forma apropriada, se mantém sempre constante.

Podemos afirmar também, sem temeridade, que a energia se apresenta sob diversas formas. A que nos interessa agora é aquela que existe na interação entre as partículas; mais especificamente, entre as cargas elétricas em repouso (campo elétrico) e/ou em movimento (campo magnético).

O modelo físico-matemático mais utilizado para descrever atualmente a interação entre as partículas é a teoria de campos. No caso do Eletromagnetismo, os campos são vetoriais, isto é, o seu efeito é representado em cada ponto do espaço-tempo por um vetor com magnitude, direção e sentido.

Existem duas ideias chave conectando os campos eletromagnéticos com a energia:

  1. os campos elétrico e magnético armazenam energia; e
  2. esses dois campos juntos são responsáveis pela transmissão da energia.

Em outras palavras, se queremos saber aproximadamente onde a energia está ou aonde ela está indo, primeiro precisamos conhecer os detalhes dos campos elétrico e magnético do sistema.

Vamos repassar rapidamente a modelagem matemática dessas duas ideias.

Energia armazenada nos campos

Duas fórmulas simples dão a densidade de energia (energia por volume) do campo elétrico \vec{E} e do campo magnético \vec{B} em cada ponto do espaço:

    \[\displaystyle U_e = \dfrac{1}{2} \varepsilon E^2\]

    \[\displaystyle U_b = \dfrac{1}{2\mu}B^2\]

sendo \varepsilon a permissividade elétrica e \mu a permeabilidade magnética do meio.

As fórmulas também fornecem uma resposta para o problema de localizar a energia potencial (eletromagnética). Se um conjunto de cargas elétricas que interagem entrei si sofre uma alteração, as partículas irão realizar um trabalho uma sobre as outras e a energia potencial do sistema irá mudar. Essa mudança na energia potencial pode ser descrita exatamente pela mudança na energia associada aos campos, assim como descrito pelas duas fórmulas acima.

Mas essa é só uma parte da história; nós também podemos descrever o fluxo de energia em termos dos campos.

Fluxo de energia

A teoria nesta seção é a descrição definitiva da transferência de energia. A teoria eletromagnética prediz que haverá fluxo de energia através de qualquer meio onde ambos campos elétrico e magnético existam e não sejam paralelos um ao outro.

Uma forma de demonstrar esse fluxo é imaginar uma pequena superfície, desenhada em certo ponto do espaço (Figura 1), que contenha ambos os vetores dos campos elétrico e magnético (lembre-se que quaisquer duas retas definem um plano). O fluxo de energia é perpendicular à superfície. Dado que há duas direções normais à superfície, precisaremos definir aquela correta olhando para a orientação relativa dos campos.

Definição da densidade de fluxo de energia (vetor de Poynting)
FIGURA 1: DEFINIÇÃO DA DENSIDADE DE FLUXO DE ENERGIA (VETOR DE POYNTING)

Se o espaço é vazio ou preenchido com material não magnético, uma simples fórmula vetorial resolve tudo: a densidade do fluxo de energia (energia por área por tempo) é descrita por uma nova quantidade vetorial:

    \[\displaystyle \vec{S} = \dfrac{1}{\mu_0} \vec{E} \times \vec{B}\]

O produto vetorial \vec{E} \times \vec{B} nesta fórmula é definido por outro vetor que é perpendicular a ambos \vec{E} e \vec{B} (perpendicular à nossa superfície imaginária) e tem magnitude EB \ \text{sen}(\phi), sendo \phi o ângulo entre os vetores \vec{E} e \vec{B}. Para encontrar qual dos dois sentidos é apropriado para o produto, usamos a regra da mão direita: gire os dedos da mão direita no sentido que vai do vetor \vec{E} para o vetor \vec{B}; o dedão indica o sentido do vetor \vec{S}.

A quantidade do lado direito da equação é também conhecida como vetor de Poynting, em honra de J. H. Poyting (1852-1914), que desenvolveu esta parte da teoria eletromagnética (Oliver Heaviside e Nikolay Umov também chegaram a esse resultado independentemente).

Nos cursos universitários, o vetor de Poynting é introduzido no contexto das ondas eletromagnéticas, nas quais os campos elétrico e magnético são perpendiculares um ao outro e ambos são perpendiculares à direção de propagação da onda. Se paramos aí, cria-se uma lacuna conceitual, pois o vetor de Poynting não se aplica apenas às ondas. Como veremos abaixo, ele provê a chave para o entendimento da transferência de energia também nos circuitos.

O campo elétrico externo ao circuito

Na primeira publicação, nos limitamos a analisar o campo elétrico dentro dos fios do circuito. Ele é paralelo ao eixo axial (longitudinal) dos fios em toda a sua extensão; em outras palavras, o campo elétrico segue a direção do circuito. De acordo com as chamadas condições de contorno do Eletromagnetismo, esse mesmo campo elétrico deve existir exatamente na superfície externa do fio (esquerda na Figura 2). Vamos nos referir a essa parcela do campo por \vec{E}_{\tau}, de tangencial.

Campo elétrico na superfície do fio
FIGURA 2: CAMPO ELÉTRICO NA SUPERFÍCIE DO FIO

A outra parcela do campo elétrico externo se deve às cargas superficiais. Ela é perpendicular à superfície do fio e sua magnitude varia de acordo com a concentração de cargas em cada ponto (centro na Figura 2). Chamaremos essa parcela de \vec{E}_n, de normal à superfície do fio.

O resultado das somas das componentes é que, embora o campo elétrico interno seja paralelo à corrente e à superfície, o campo externo pode estar em ângulos diferentes (direita na Figura 2). Quanto maior a concentração de cargas superficiais, mais o vetor resultante se torna perpendicular à superfície, se aproximando do caso eletrostático, onde o campo é perpendicular em toda a extensão do fio, por ser tratar de uma superfície equipotencial. Não é o caso do nosso circuito, no qual a tensão varia ao longo do circuito (isto é, não é equipotencial).

Vamos rever as conclusões acima na Figura 3, que é a reprodução completa da Figura 14 do primeiro artigo. Ela mostra o campo elétrico dentro e fora do condutor, além das linhas equipotenciais (em vermelho).

Figura 3: Campo elétrico externo simulado. Ref X.
FIGURA 3: CAMPO ELÉTRICO EXTERNO SIMULADO. REF. 5.

Podemos ver claramente pelo tamanho das setas que quanto maior a presença de cargas superficiais, maior a magnitude do campo elétrico resultante e maior o seu ângulo com relação à superfície do condutor. Onde a presença de carga superficial é muito baixa, o campo externo é praticamente igual ao campo elétrico interno (\vec{E} \approx \vec{E}_{\tau}). E, complementando, a componente \vec{E}_n, além de variar na magnitude, varia também no sentido, de acordo com as polaridades: carga positiva aponta para fora do circuito; carga negativa aponta para dentro.

O campo magnético gerado pela corrente

O campo magnético gerado pela corrente não tem segredo algum; basta aplicar a lei de Ampère ao circuito. No caso de um condutor retilíneo com seção circular, temos linhas de forças circulares e concêntricas ao fio (Figura 4).

Campo magnético circular e concêntrico ao fio
FIGURA 4: CAMPO MAGNÉTICO CIRCULAR E CONCÊNTRICO AO FIO. REF: WIKIPÉDIA.

Finalmente, é hora de juntar os campos para ver o fluxo de energia.

Fluxo de energia no circuito

Podemos dividir o fluxo da energia em duas partes. A primeira envolve a saída ou a chegada da energia através da superfície dos elementos do circuito, por exemplo: como a energia sai da bateria ou como ela entra no resistor. A segunda é o transporte da energia entre os vários elementos elementos, viajando guiada pelas fios. Seguindo os nossos artigos de referência, começaremos pela segunda parte.

O caminho da energia

As distribuições exatas dos campos elétrico e magnético, e do vetor de Poynting, podem ser bem difíceis de calcular, especialmente porque os detalhes dependem da geometria do circuito. Entretanto, ainda é possível obter uma ideia do que está acontecendo com algumas simplificações.

A Figura 5 mostra uma versão imprecisa do nosso circuito de exemplo, no qual as cargas superficiais só estão indicando a predominância de certa polaridade em cada fio. Podemos estimar por alto onde as linhas do campo elétrico se localizam: do fio carregado positivamente para o fio carregado negativamente. O campo elétrico na região externa ao loop foi omitido.

Campo elétrico aproximado do circuito
FIGURA 5: CAMPO ELÉTRICO APROXIMADO DO CIRCUITO. REF: ABC SCIENCE.

A Figura 6 mostra como as linhas do campo magnético produzidas pela corrente formam círculos ao redor do fio e apontam para dentro da folha no interior do loop.

Campo magnético ao redor do circuito
FIGURA 6: CAMPO MAGNÉTICO AO REDOR DO CIRCUITO. REF: ABC SCIENCE.

Utilizando a regra da mão direita para obter a direção e sentido do vetor de Poynting, vemos que dentro do loop do circuito o vetor da densidade do fluxo de energia aponta no sentido da bateria para a lâmpada em ambos os fios (Figura 7).

Vetor de Poynting no circuito
FIGURA 7: VETOR DE POYNTING NO CIRCUITO. REF: ABC SCIENCE.

Há ainda algum fluxo de energia no espaço fora do loop e, claro, nos espaços acima e abaixo do circuito “esmagado” da Figura 7, isto é, o fluxo de energia acontece nas três dimensões. Se você obter a direção e sentido do vetor de Poynting nesses locais, verá o mesmo resultado, isto é, energia saindo da bateria e se dirigindo para o resistor. É interessante notar que a energia segue por muitos caminhos diferentes, mas é relativamente fácil ver que a densidade de fluxo tem seus maiores valores na vizinhança da superfície do fio, onde a magnitude do campo magnético é maior. A corrente parece atuar como um guia para a transferência de energia, mas não permite que esta chegue perto demais.

(Um parêntese: a cada ponto no espaço pode ser assinalado um valor de potencial elétrico. As superfícies imaginárias ligando os pontos que tem o mesmo valor de potencial são chamas de superfícies equipotenciais. O campo elétrico associado com o potencial é sempre perpendicular às superfícies equipotenciais. Uma vez que o vetor de Poynting é sempre perpendicular ao campo elétrico, podemos ver que o fluxo de energia segue as superfícies equipotenciais. Exemplificando, as linhas vermelhas (equipotenciais) da Figura 3 tem a mesma direção do vetor de Poynting e, consequentemente, do fluxo de energia.)

A saída da energia da bateria e a entrada no resistor

Para entender como a energia entra em um resistor, consideraremos o caso de um segmento de fio (Figura 8) que é reto e inteiriço, em vez de estar enrolado, como em um filamento de lâmpada incandescente ou em um resistor cerâmico. Temos que olhar os campos elétrico e magnético exatamente na superfície interna do fio. Como vimos antes, o campo elétrico dentro do fio aponta ao longo do eixo do fio e, exatamente na parte interior da sua superfície, as linhas do campo (\vec{E}{\tau}) se situam paralela a ela (linhas pretas retas na Figura 8). As linhas do campo magnético \vec{B} formam círculos fechados ao redor e dentro do fio. A Figura 8 mostra algumas dessas linhas exatamente na parte interior da superfície do fio. Agora, o vetor da densidade de energia \vec{S} deve ser perpendicular tanto às linhas de \vec{E}{\tau} quanto de \vec{B}. Assim sendo, ele deve ser perpendicular à superfície em todos os pontos do fio.

Densidade de fluxo de energia e campos na parte interior da superfície do fio
FIGURA 8: DENSIDADE DE FLUXO DE ENERGIA E CAMPOS NA PARTE INTERIOR DA SUPERFÍCIE DO FIO.

O diagrama mostra algumas setas que representam \vec{S} perpendicular à superfície em alguns pontos do fio. Você também pode verificar se ele está apontando para dentro ou para fora. As direções dos campos elétrico e magnético são ambas relacionadas à direção da corrente. Usando a regra da mão direita para o produto vetorial acima definido, podemos concluir que a energia está fluindo para dentro do fio em todos os pontos da superfície cilíndrica.

Para calcular o valor da transferência de potência (energia por tempo), basta multiplicar o valor do vetor de Poynting pela área da superfície. Uma vez que os campos elétricos e magnéticos são perpendiculares (90 graus entre si), a magnitude da densidade do fluxo de energia é dada por:

(1)   \[\displaystyle S = \dfrac{1}{\mu_0} E_{\tau}B. \]

A entrada de potência é igual ao produto da potência por área, S, pela área da superfície cilíndrica, A:

(2)   \[\displaystyle P = S A = \dfrac{1}{\mu_0} E_{\tau}B \times 2 \pi r d. \]

Agora podemos encontrar os valores para os campos em termos da diferença de potencial V e da corrente I. A magnitude do campo elétrico é igual à diferença de potencial V entre os extremos do segmento de fio, dividido pelo seu comprimento d:

(3)   \[\displaystyle E_{\tau} = \dfrac{V}{d} \]

E o campo magnético B produzido pela corrente na superfície do fio é dada pela bem conhecida fórmula:

(4)   \[\displaystyle B = \dfrac{\mu_0 I}{2 \pi r} \]

Substituindo as fórmulas (3) e (4) em (2), chegamos a nossa famosa fórmula para a potência dissipada P:

    \[\displaystyle P = VI\]

Então o modelo de campo para a transferência de energia dá a resposta exata para a dissipação em um fio resistivo. Com esse conhecimento, a fórmula P=VI deixa de ser simplesmente o resultado de manipulações algébricas para ser a consequência de um processo físico.

Como uma extensão da derivação acima, você poderia olhar para o que acontece exatamente na parte de fora da superfície. Uma vez que a componente axial do campo elétrico (E_{\tau}) é a mesma tanto na parte externa quanto na interna da superfície do fio, e o campo magnético é praticamente o mesmo, você pode concluir que o fluxo de energia derivado acima funciona como esperado. Mas… agora existe também a componente normal do campo elétrico (E_n). Se essa componente não é zero, então, junto com o campo magnético, ela contribui para o aparecimento de uma componente do vetor de Poynting que é paralela ao fio, mas somente fora dele. Isso significa que a energia pode também estar viajando ao longo do fio (indo para outro lugar, como na Figura 7).

Energia saindo da bateria

Uma argumentação matemática similar pode ser usada para encontrar a taxa na qual a energia é extraída da bateria pelo campo eletromagnético. Apenas modele a bateria como um objeto cilíndrico e toda a argumentação será igual exceto por uma coisa: na bateria, a corrente vai do potencial mais baixo para o mais alto, contra o sentido do campo elétrico, então a direção em que o campo magnético “gira” em torno da bateria é reverso. Essa é a única diferença na argumentação, mas ela reverte o sentido do vetor de Poynting na superfície. Então a energia sai do cilindro em vez de entrar.

Os detalhes do fluxo de energia no espaço entre a bateria e a lâmpada dependem da geometria do circuito, que determina detalhes de como as cargas superficiais se distribuem ao longo do circuito. Um fato memorável é que a relação entre tensão, corrente, resistência e transferência de energia não são modificadas por nenhum rearranjo geométrico dos fios (no caso dos circuitos a parâmetros concentrados).

Conclusão

Vimos neste artigo que a energia eletromagnética não viaja dentro dos fios dos circuitos, mas ao redor da sua superfície, contrariando o que a maioria dos estudantes (e poucos profissionais, espero) assume intuitivamente.

O vetor de Poynting é a ferramenta físico-matemática mais atual para conceitualizar e quantificar o transporte de energia por meio dos campos elétrico e magnético. Normalmente, ele é utilizado nas universidades somente para representar o fluxo de energia nas ondas eletromagnéticas. Contudo, mostramos como ele é útil também para o caso dos circuitos em corrente contínua.

Além do vetor de Poynting, é essencial levar em consideração o modelo de cargas superficiais para a compreensão do fenômeno acima descrito. Como você deve ter percebido, todo o desenvolvimento do campo elétrico dependeu do conhecimento prévio da configuração das cargas superficiais.

Eu continuo sem entender como esse tema tão importante não aparece nos livros e nas aulas, seja de Circuitos Elétricos, seja de Eletromagnetismo, do Brasil e – pasmem – do mundo!

Conto com a colaboração dos leitores para sugerir melhorias e, se possível, compartilhar este e o primeiro artigo com alunos e profissionais da área elétrica.

Referências

  1. SEFTON, I. A. Understanding Electricity and Circuits: What the Text Books Don’t Tell You. In: BIENNAL SCIENCE TEACHERS’ WORKSHOP, 10th, 2002, Sidney. Proceedings of 10th Biennial Science Teachers’ Workshop. Sidney, 2002.
  2. MAJCEN, S.; HAALAND, R.K.; DUDLEY, S.C. The Poynting vector and power in a simple circuit. American Journal of Physics, v. 68, n. 9: p. 857-859, 2000.
  3. GALILI, I.; GOIHBARG, E. Energy transfer in electrical circuits: A qualitative account. American Journal of Physics, v. 73, n. 2: p. 141-144, 2005.
  4. CHABAY, R.W.; SHERWOOD, B.A. Electric Fields and Circuits. In: Matter and Interaction II. 3th Ed. 2011. cap. 19.
  5. MÜLLER, R. A semiquantitative treatment of surface charges in DC circuits. American Journal of Physics, v. 80, n. 9: p. 782-788, 2012.

Está gostando dos artigos? Então assine agora nossa Newsletter!

Enviamos somente o essencial: avisos sobre novos artigos e lançamentos de cursos. Escolha entre a lista de emails ou a lista de transmissão no Whatsapp.


Deixe uma resposta

O seu endereço de e-mail não será publicado. Campos obrigatórios são marcados com *