Cargas Superficiais: O Elo Perdido dos Circuitos

Frederico B. TeixeiraCircuitos Elétricos, EletromagnetismoLeave a Comment

A Grande Onda de Kanagawa

Enquanto preparava um curso de Circuitos Elétricos em 2016, descobri que nenhum livro clássico dessa matéria (nem os de Física básica) apresentava certo conteúdo que é absolutamente essencial para explicar o funcionamento do mais simples circuito. Neste artigo você vai descobrir que conteúdo é este e porque ele abre novas perspectivas para uma compreensão profunda de vários fenômenos com os quais os profissionais da área elétrica se defrontam todos os dias.

Circuito Modelo

Para a maior parte das explicações, vamos utilizar um circuito composto por uma bateria (pilha) ligada a uma lâmpada através de um par de fios de cobre. Abstraindo o mais importante, ficaremos com a simplificação ilustrada à direita na Figura 1.

Figura 1: Circuito simples e sua abstração
FIGURA 1: CIRCUITO SIMPLES E SUA ABSTRAÇÃO

A princípio faremos ainda mais uma simplificação, deixando o circuito somente com a bateria e o par de fios metálicos. A resistividade do condutor será aumentada, a fim de evitar um curto-circuito entre os terminais da bateria. Posteriormente iremos reintroduzir o resistor no circuito.

O Condutor Metálico

Utilizaremos o modelo de Drude para os condutores metálicos, no qual os sólidos são tratados como uma rede de íons metálicos (carregados positivamente) que estão mais menos fixos no condutor, permeados por uma “nuvem” de elétrons móveis (carregados negativamente) que se comportam como um gás ideal (Figura 4). A carga total no condutor como um todo é igual a zero.

FIGURA 4: MODELO DE DRUDE. ANIMAÇÃO: DOITPOMS

A corrente em um metal consiste de uma lenta deriva da nuvem de elétrons através da rede fixa. Interações elétricas entre os íons da rede e os elétrons de condução entravam o fluxo dos elétrons, dando origem à propriedade da resistência elétrica. Portanto, para manter a corrente, alguma coisa deverá “empurrar” continuamente os elétrons contra a resistência da rede de íons.

Em outras palavras, os elétrons móveis perdem energia para a rede, aumentando a temperatura dos fios. A menos que um campo elétrico esteja sempre presente para manter o movimento direcionado dos elétrons livres após as colisões, a energia será rapidamente dissipada e a corrente deixará de existir.

Esse campo elétrico não surgirá sozinho no fio porque a somatória de forças sobre um elétron devido às outras partículas é igual a zero dentro de um condutor metálico (Figura 5).

Figura 5: Somatória de forças sobre elétron móvel na rede igual a zero.
FIGURA 5: SOMATÓRIA DE FORÇAS SOBRE ELÉTRON MÓVEL NA REDE IGUAL A ZERO

A modelagem do condutor metálico nos leva então à seguinte questão: o que produz o campo elétrico dentro do fio?

A Bateria

Só existem dois jeitos de se criar um campo elétrico. Um deles é pela variação de um campo magnético, como no fenômeno da indução eletromagnética. Esse mecanismo não se aplica neste exemplo; logo, o campo elétrico deve ser causado pelo outro mecanismo, que é a separação de cargas positivas e negativas. Isso é exatamente o que uma bateria faz. Por processos internos de difusão e reações químicas, as quais não detalharemos aqui, uma bateria produz e mantém uma separação de cargas elétricas entre seus terminais (contatos).

O campo elétrico gerado pela bateria produz uma força sobre cada elétron condutor, dada pela fórmula \vec{F} = q\vec{E}. A ação dessa força fará com que os elétrons se acumulem sobre um dos contatos externos da bateria. Esses elétrons estão em falta no outro contato, dando origem ao polo positivo (Figura 6).

Figura 6: Uma bateria (pilha) com cargas superficiais sobre seus contatos
FIGURA 6: UMA BATERIA (PILHA) COM CARGAS SUPERFICIAIS SOBRE SEUS CONTATOS

Quanto maior for a densidade adicional de cargas negativas nas superfícies dos contatos metálicos, maior será a repulsão entre elas. Isso vale para as cargas positivas no outro contato, sendo que estas cargas positivas atraem os elétrons afastados. Um estado de equilíbrio é estabelecido quando as forças repulsivas e atrativas (regidas pela lei de Coulomb) evitam quaisquer acúmulos adicionais de elétrons.

Fios Ligados à Bateria

Teoricamente, ligar os fios condutores aos terminais da bateria não é diferente de aumentar a superfície dos seus contatos metálicos (Figura 7). Em um esforço para minimizar a repulsão mútua entre elas, as cargas vão se redistribuir sobre essa superfície ampliada e, dessa forma, vão reduzir suas densidades.

Isso vai implicar um período curtíssimo sem que haja equilíbrio entre a força interna da bateria e as forças de Coulomb, durante o qual elétrons adicionais serão forçados para essas “superfícies ampliadas” até que a densidade original seja restabelecida, gerando um novo equilíbrio entre as forças envolvidas.

Figura 7: Bateria (pilha), conectores metálicos e cargas superficiais
FIGURA 7: BATERIA (PILHA), CONECTORES METÁLICOS E CARGAS SUPERFICIAIS

Enquanto o circuito estiver aberto, teremos uma situação puramente eletrostática, na qual não haverá campo elétrico dentro dos fios. O potencial em cada fio é constante e o mesmo do terminal correspondente da bateria.

Ligando o Circuito

Quando conectamos os dois fios, chegamos ao ponto principal: as cargas superficiais não deixam de existir. Isto é, existe uma eletrostática “escondida” na eletrodinâmica dos circuitos. E como veremos a partir de agora, as cargas superficiais são coadjuvantes importantíssimas, sendo responsáveis pelos fenômenos que geram a corrente elétrica e o fluxo de energia.

Vamos olhar de perto o gap entre os fios da Figura 8, ilustrado na Figura 9. À esquerda, aparece apenas a parcela do campo elétrico dentro do fio causada pelas cargas nas superfícies “verticais” do gap (\vec{E}_{\text{Gap}}). Entretanto, como o sistema está em equilíbrio, o campo elétrico total é nulo. Assim sendo, a outra parcela do campo, causada por todas as outras cargas (\vec{E}_{\text{Outras}}), deve ter a mesma magnitude e o sentido contrário de \vec{E}_{\text{Gap}} (veja à direita na Figura 9).

Figura 8: Circuito com gap
FIGURA 8: CIRCUITO COM GAP
Figura 9: Direita. Campo elétrico causado somente pelas cargas na parede do gap. Esquerda: Campo elétrico total.
FIGURA 9. ESQUERDA: CAMPO ELÉTRICO CAUSADO SOMENTE PELAS CARGAS NA PAREDE DO GAP. DIREITA: CAMPO ELÉTRICO TOTAL.

Quando conectamos os dois fios, as cargas nas extremidades se neutralizam entre si, deixando um “tubo” de cargas na superfície dos fios (Figura 10). Neste instante, a distribuição de cargas superficiais tem uma grande e instável “descontinuidade” – cargas de polaridade oposta ficam muito próximas uma das outras. O campo elétrico dentro do fio deixará de ser nulo, ficando igual somente à parcela \vec{E}_{\text{Outras}} da Figura 9.

Figura 10: Campo elétrico total e descontinuidade de cargas
FIGURA 10: CAMPO ELÉTRICO TOTAL E DESCONTINUIDADE DE CARGAS

Na presença de um campo elétrico, os elétrons livres passarão a se movimentar. Em uma fração de nanossegundo, elétrons se movendo para uma região positiva deixarão essa região menos positiva; ao mesmo tempo, deixarão a região negativa de onde eles saíram menos negativa (Figura 11).

Figura 11: Redução gradual da descontinuidade
FIGURA 11: REDUÇÃO GRADUAL DA DESCONTINUIDADE

A movimentação dos elétrons, iniciada pelo novo campo elétrico, “dilui” a carga superficial na região onde existia o gap, de forma que a descontinuidade inicial de cargas vai gradualmente se reduzindo. O campo elétrico, contudo, continua diferente de zero, pela ação das cargas positivas à esquerda e das cargas negativas à direita do ponto de conexão dos fios.

Após um curto período transitório, um rearranjo das cargas superficiais se estabelecerá. No regime permanente, o campo elétrico dentro dos fios terá magnitude uniforme em todos os pontos do circuito (exceto dentro da bateria).

Distribuição das Cargas

Podemos deduzir o resultado final da distribuição das cargas superficiais no circuito a partir dos nossos conhecimentos da teoria de Circuitos e do Eletromagnetismo:

  1. A corrente flui no interior do fio.
  2. A corrente convencional (contrária ao fluxo dos elétrons), flui do terminal positivo para o negativo da bateria.
  3. A corrente segue a direção do fio, isto é, ela é paralela ao eixo axial desse.
  4. A corrente tem o mesmo valor em todos os pontos do nosso circuito porque os elementos estão ligados em série.

Campo elétrico dentro do condutor

Se a corrente flui no interior dos fios e a sua versão convencional flui do terminal positivo para o negativo da bateria, é necessário que exista algum tipo de barreira elétrica ao redor do fio que limite o espaço de movimentação dos elétrons. Essa barreira é causada justamente pelas forças repelentes das cargas superficiais.

Além disso, ao se mover entre os terminais positivo para o negativo da bateria, o campo elétrico muda de direção ao longo de circuito. Usando a Figura 12 como referência: o campo começa apontando para a esquerda, depois para baixo, direita, cima e finalmente para a esquerda novamente. Novamente, é necessário que existam cargas superficiais ao longo do circuito para mudar a direção do campo elétrico e guiar o caminho da corrente, pois somente as cargas nos terminais das baterias não seriam capazes de fazer isso.

FIGURA 12: CAMPO ELÉTRICO RESULTANTE. ANIMAÇÃO: MATTER&INTERACTIONS.

Em termos físico-matemáticos, deve ser respeitada em todo ponto do circuito a forma microscópica da Lei de Ohm:

    \[\displaystyle \vec{J}=\sigma \vec{E}\]

\vec{J} é a densidade de corrente elétrica, cuja magnitude é igual à corrente elétrica dividida pela área de seção transversal do condutor, e \sigma é a condutividade elétrica do condutor. A direção e o sentido do vetor \vec{J} são definidos pelo vetor \vec{E}.

Em princípio, após a ligação do circuito, aquelas cargas que estavam uniformemente distribuídas, como na Figura 8, passariam a variar linearmente ao longo do circuito, como na Figura 13. Contudo, veremos a seguir que este desenho é impreciso devido à acumulação de cargas nas curvas.

Figura 12: Distribuição das cargas com circuito fechado (sem considerar as curvas)
FIGURA 13: DISTRIBUIÇÃO DAS CARGAS COM CIRCUITO FECHADO (SEM CONSIDERAR AS CURVAS)

Curvas

Nas curvas, deve existir alguma carga desbalanceada adicional (em excesso às das partes retas) capaz de mudar a direção do campo e da corrente. Para ver como uma distribuição de cargas superficiais pode guiar o fluxo da corrente e também ajustar-se para alcançar esse resultado, imagine um elétron se aproximando de uma curva. O único modo dele contornar a curva por um caminho suave é ser empurrado ou puxado ao redor dos cantos por outras partículas carregadas que estão paradas (Figura 14).

Figura 13: Dois modos de empurrar um elétron condutor ao redor de uma curva
FIGURA 14: DOIS MODOS DE EMPURRAR UM ELÉTRON CONDUTOR AO REDOR DE UMA CURVA

Se não fosse assim, o elétron continuaria seu caminho em direção à superfície do fio. Se ele faz isso e fica preso lá, ele pode então “dar uma força” para o próximo elétron que vem atrás dele. Então, o primeiro elétron, que não conseguiu fazer a curva (virou carga superficial), ajudará o próximo a fazê-lo, repelindo-o. Este processo continua até que haja um acúmulo de cargas nas curvas suficiente para manter o campo elétrico paralelo ao eixo axial do fio.

Contudo, as simulações computacionais mostram que a distribuição de cargas no circuito, especialmente nas curvas, tende a ser muito mais complexa do que a da Figura 14. A soma dos efeitos apresentados nas duas seções anteriores aparece na Figura 15, retirada da referência 5 (com adaptações). Ela é o resultado da simulação computacional de um circuito semelhante ao que estamos analisando. A bateria foi substituída por um capacitor de alto valor que, para fins de simulação, tem características próximas de uma bateria. As cores mais quentes representam as cargas positivas e as cores mais frias, as cargas negativas. Foi omitido o campo elétrico fora do circuito e as linhas equipotenciais (linhas vermelhas).

Figura 14: Cargas superficiais em circuito simulado.
FIGURA 15: CARGAS SUPERFICIAIS EM CIRCUITO SIMULADO (REF. 5).

Repare que a curva do campo elétrico exige um “grande trabalho” das cargas superficiais, pois existem descontinuidades em todas as quinas.

Além disso, aparece um tipo de quadripolo elétrico. Bem próximo às quinas externas, o campo elétrico está no sentido contrário do usual; isto é, ele está orientado das cargas negativas para as positivas (azul para o amarelo), ao invés de estar orientado das positivas para as negativas (amarelo para o azul).

De forma geral, entretanto, é possível perceber que há uma transição das cargas mais positivas no terminal positivo do capacitor até as mais negativas no terminal negativo, confirmando o que foi previsto anteriormente.

Introdução de um Resistor

Vamos voltar agora ao primeiro circuito do artigo, composto pela bateria, fios e um resistor com resistividade muito maior (condutividade menor) do que a dos fios. Vamos analisar esse circuito por meio da fórmula \vec{J}=\sigma \vec{E}.

Com a diminuição da condutividade dentro do resistor, para que a corrente se mantenha constante, é preciso que ocorra um aumento correspondente no campo elétrico. Esse aumento é obtido pela acumulação de cargas superficiais nos terminais do resistor, como ilustrado na Figura 16 (ela aparece em todos os cursos de Eletromagnetismo, mas quantas pessoas realmente a associam aos circuitos elétricos?). Exceto nas situações mais extremas, a distribuição de cargas ao longo do resistor é intuitiva, positivo no terminal onde a corrente entra e negativa onde ela sai.

Figura 15: Cargas superficiais do resistor
FIGURA 16: CARGAS SUPERFICIAIS DO RESISTOR

Como é de se esperar, se a resistência do resistor é muito maior do que a dos fios, quase toda a queda de potencial ocorre através do resistor. Como consequência disso, a distribuição de cargas no resto do circuito é muito parecida àquela anterior na qual havia um gap no lugar no resistor.

Para fins de complementação, inserimos abaixo outra simulação da referência 5, agora com a presença de dois resistores.

Figura 16: Cargas superficiais em circuito simulado com resistores (Ref. 5)
FIGURA 17: CARGAS SUPERFICIAIS EM CIRCUITO SIMULADO COM RESISTORES (REF. 5)

Conclusão

Vimos neste artigo que o funcionamento dos circuitos elétricos não é explicado em detalhes nem nos cursos de Física nem nos de Engenharia Elétrica. Para isso, é preciso levar em conta a presença das cargas superficiais ao longo dos circuitos. Apesar da sua distribuição não ser trivial, dependendo da geometria do circuito, é possível conhecer os princípios da sua atuação.

Em geral, os condutores de um circuito devem ter um densidade de carga superficial não uniforme sobre eles para:

  1. assegurar o fluxo confinado da corrente,
  2. manter o potencial ao longo do circuito e
  3. prover o campo elétrico no espaço fora dos condutores.

Este artigo apresentou uma introdução aos pontos (1) e (2). Na próxima publicação, trataremos especificamente do ponto (3), mostrando não só o campo elétrico fora dos condutores, mas o seu campo magnético, além da união dos dois campos, que formam a base para a explicação do fluxo de energia nos circuitos.

Referências

  1. SEFTON, I. A. Understanding Electricity and Circuits: What the Text Books Don’t Tell You. In: BIENNAL SCIENCE TEACHERS’ WORKSHOP, 10th, 2002, Sidney. Proceedings of 10th Biennial Science Teachers’ Workshop. Sidney, 2002.
  2. HÄRTEL, H. Tensão e Cargas Superficiais – O que Wilhelm Weber já sabia há 150 anos. Caderno Brasileiro de Ensino de Física, Brasil, v. 29, n. 3: p. 1015-1029, dez. 2012. Tradução de ASSIS, A. K. T.
  3. CHABAY, R.W.; SHERWOOD, B.A. Electric Fields and Circuits. In: Matter and Interaction II. 3th Ed. 2011. cap. 19.
  4. JACKSON, J. D. Surface charges on circuit wires and resistors play three roles. American Journal of Physics, v. 64, n. 7: p. 855-870, 1996.
  5. MÜLLER, R. A semiquantitative treatment of surface charges in DC circuits. American Journal of Physics, v. 80, n. 9: p. 782-788, 2012.

Imagem da Capa: A Grande Onda de Kanagawa, de Katsushika Hokusai.

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